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同素分堆問題是求方法數(shù)問題的一種基本題型。它的最基本的模型是： “把n個相同的元素分成m堆，每堆至少1個，問有多少中不同的分法?” 這里的“同素”即“相同的元素”，在這個模型中，最關(guān)鍵的是“每堆至少1個”這句話，必須是每堆至少一個，才可用我們接下來要講的解決這類問題的方法：隔板法。 【例1】把10本相同的書分給3個班級，每班至少1個，問有多少種不同的分法? 【思路】本題中“同素”：是10本相同的書，故n=10; 分給3個班級：即將書分成3堆，故m=3; 每班至少1本。 故本題為同素分堆問題的最基本的模型。 解決方法：隔板法。把10本書排成一排，因為書是相同的，不存在排列順序問題。 要把這10本書分成三堆，只要在這10本書形成的空隙中插入2個隔板即可。10本書排成一排，形成了11個空。但是，因為要求每班至少分一本書，所以最前面的空和最后一個空是不能插板的，則只能在中間形成的9個空中插入2個隔板，即從9個空中選擇2個空插入隔板。然而，到底選擇的2個空插入隔板是用排列還是組合呢? 【解析】由于兩個隔板的放置的位置不同就已經(jīng)體現(xiàn)了三個班級分得書本數(shù)的可能性，故只要在9個空中選2個位置放隔板即可，不需要選完之后再排列，用組合即可，即隔板的放置方法共有 種，也即把10本相同的書分給3個班級，每班至少1個，共有 種方法。 【總結(jié)】把n個相同的元素分成m堆，每堆至少1個，有 不同的分法。 然而，行測數(shù)學運算部分關(guān)于此知識點的考查往往是基本模型的變形的形式。和基本模型的主要區(qū)別在于，題干中所給的條件不在是“每堆至少1個”，而是“每堆至少多于1個”，當問題這樣變形后，就不能直接用隔板法解決了。 【例2】把10本相同的書分給3個班級，每班至少2本，問有多少種不同的分法? 【解析】這個問題中，在分書時，要求的是“每班至少2本”。我們說，在應(yīng)用隔板法解決同素分堆問題時，要求必須是“每堆至少1個”。為此，解決不是“每堆至少1個”的同素分堆問題時，我們用轉(zhuǎn)化的思想。即想辦法把“每班至少多于1個”轉(zhuǎn)化成“每堆至少1個”，再應(yīng)用隔板法解題。 本題中就可以通過先每班分一本書，然后還剩7本書，所以本題就轉(zhuǎn)化為： “把7本相同的書分給3個班級，每班至少一本，問有多少中不同的分法?” 應(yīng)用隔板法：n=7，m=3，故有 種不同的分法。
【總結(jié)】在應(yīng)用隔板法解決同素分堆問題時，一定要區(qū)分題干中要求是“每堆至少分多少”。如果是“每堆至少分1個”，可直接應(yīng)用隔板法解題;如果“每堆至少分的多于1個”，則應(yīng)該將其轉(zhuǎn)化為“每堆至少分1個”的情況，再應(yīng)用隔板法。
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